Исследование Фреге не было завершено в первую очередь потому, что оно было применено только к арифметике, а не к другим ветвям математики. Во-вторых, потому, что его посылки не исключали некоторых противоречий, которым оказались подвержены все прошлые системы формальной логики. В сотрудничестве с Уайтхедом мы попытались устранить оба этих недостатка в книге "Principia Mathematical, которой, однако, недостает окончательности в некоторых фундаментальных пунктах (особенно в аксиоме сводимости). (Уайтхед, Альфред Норт (1861-1947) – английский математик и философ, одно время был соавтором и коллегой Рассела по Кембриджскому университету. Впоследствии его деятельность проходила в США.

Отойдя от логико-математической проблематики, он стал развивать «философию организма», заниматься эволюционной космологией, вопросами связи науки и религии – прим. ред.). Но вопреки этим недостаткам, я думаю, никто из читавших данную книгу не будет оспаривать ее основное содержание, а именно, что вся чистая математика может быть выведена из некоторых идей и аксиом формальной логики с помощью логики отношений, без обращения к каким-либо новым неопределенным понятиям или недоказанным утверждениям. Технические методы математической логики, которые разработаны в этой книге, мне представляются весьма мощными и способными обеспечить новый инструмент для обсуждения многих проблем, которые до сих пор оставались предметом философской неопределенности. Книга «Понятие природы и принципы познания природы» Уайтхеда может служить иллюстрацией к тому, что я имею в виду.

Когда чистая математика строится как дедуктивная система, то есть как множество всех тех утверждений, которые могут быть выведены из заданных посылок, тогда становится очевидным, что если мы убеждены в истинности чистой математики, то не потому лишь, что убеждены в истинности множества посылок.